Problema de la semana 2021-9

Olimpiada Panameña de Matemática

Problema de la semana

Semana del 1 al 7 de marzo de 2021

En un cuadrilátero convexo ABCD, los lados AB, BC, CD y DA miden 3, 4, 12 y 13 centímetros, respectivamente. Además, el ángulo interno con vértice en B es recto. ¿Cuánto mide el área del cuadrilátero?

Solución

2021-9

El triángulo ABC es rectángulo, así que podemos calcular la hipotenusa por medio del teorema de pitágoras.

$AC^2=AB^2+BC^2$
$AC = \sqrt{3^2+4^2}=5$

Vemos que el triángulo ACD tiene lados que miden 5, 12 y 13 los cuales son una terna pitagórica. Esto implica necesariamente que ACD es también rectángulo.

$[ABCD]=[ABC]+[ACD]=\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC+ \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD$ $[ABCD] = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 + \frac{1}2{} \cdot 5 \cdot 12=6+30=36$