Problema de la semana 2021-13

Semana del 29 de marzo al 4 de abril de 2021

Consideremos tres números enteros positivos y formemos todas las fracciones posibles con dichos números, tomados de dos en dos. Si la suma de las seis fracciones es un número entero, ¿cuántos valores distintos puede tomar el menor de los tres números ?

Solución

Digamos que los tres números enteros positivos consecutivos son a, b y c, en ese orden. Llamemos S a la suma de las seis fracciones.

$S=\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$
$S=\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}$

Y como los números son consecutivos, podemos escribir $b=a+1$ y $c=a+2$ , de donde obtenemos que

$S=\frac{2a+3}{a}+\frac{2a+2}{a+1}+\frac{2a+1}{a+2}$
$S=2+\frac{3}{a}+2+\frac{2a+1+3-3}{a+2}$
$S=2+\frac{3}{a}+2+\frac{2a+4}{a+2}+\frac{-3}{a+2}$
$S=2+\frac{3}{a}+2+2+\frac{-3}{a+2}$

Acomodamos pasando los enteros al lado izquierdo de la ecuación para obtener lo siguiente

$S-6=\frac{3}{a}+\frac{-3}{a+2}$
$S-6=\frac{3a+6-3a}{(a)(a+2)}$
$S-6=\frac{6}{(a)(a+2)}$

Como el lado izquierdo de la ecuación es un número entero, entonces el lado derecho también lo es. Esto quiere decir que $(a)(a+2)$ es un divisor de seis, osea 1, 2, 3 ó 6. Probando con estos cuatro casos, nos damos cuenta que la única solución se da cuando $a=1$ . El menor de los tres enteros consecutivos puede tomar un único valor.

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