Problema de la Semana 2021-17

Semana del 26 de abril al 2 de mayo de 2021

Consideremos el siguiente polinomio:

$p(x)=x^4+ax^3-7x^2+bx-49$

Si dividimos $p(x)$ entre $x-3$ , el residuo es 53. Si dividimos $p(x)$ entre $x+2$ , el residuo es -87. ¿Cuánto vale $ab$ ?

Solución

Recordemos primeramente que el teorema del residuo establece que el residuo de dividir un polinomio $p(x)$ entre $x-a$ es $p(a)$ . Aplicando este resultado en el problema, obtenemos que

$p(3)=81+27a-63+3b-49=53$

y que

$p(-2)=16-8a-28-2b-49=-87$

Resolviendo este sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, obtenemos que $a=43/14$ y que $b=5/14$ . De aquí calculamos la respuesta $ab=\frac{5 \cdot 43}{14^2}$ .

Problema de la Semana 2021-17

Solución

Recibe las noticias

Redes sociales

Portales internos