Problema de la semana 2021-20

Semana del 17 al 23 de mayo de 2021

Consideremos la representación decimal finita del número $\frac{1}{5^{2021}}$ .

¿Cuál es su último dígito?

¿Cuál es su penúltimo dígito?

Solución

Observemos primero que $\frac{1}{5^{2021}}=\frac{2^{2021}}{10^{2021}}$ , así que lo que buscamos son los últimos dos dígitos de $2^{2021}$ , es decir, el residuo de $2^{2021}$ en módulo 100, así que consideraremos congruencias módulo 100 y que $2^{12}=4096\equiv -4$ .

$2^{2021}\equiv 2^{12\cdot 12\cdot 14 + 5}\equiv (2^{12})^{12\cdot 14}\cdot 2^5$

$\equiv (4096)^{12\cdot 14}\cdot 2^5\equiv (-4)^{12\cdot 14}\cdot 2^5\equiv (2^{12}\cdot 2^{12})^{14}\cdot 2^5$

$\equiv (-4\cdot -4)^{14}\cdot 2^5\equiv (2^4)^{14}\cdot 2^5$

$\equiv 2^{4\cdot 12 + 8}\cdot 2^5\equiv (-4)^{4}\cdot 2^8\cdot 2^5$

$\equiv 2^8\cdot 2^8\cdot 2^5\equiv 2^{12} \cdot 2^9\equiv (-4)\cdot 512\equiv -2048\equiv -48\equiv 52$ .

El último dígito es 2 y el penúltimo es 5.

Problema de la semana 2021-20

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