Problema de la semana 2021-35

Olimpiada Panameña de Matemática

Problema de la semana

Semana del 30 de agosto al 5 de septiembre de 2021

Calcular el área de la región del plano comprendida entre la circunferencia $x^2+y^2=1$ , la circunferencia $x^2+y^2=4$ , la recta $y=x$ y el eje x positivo.

Solución

Problema 2021-35

La figura muestra las circunferencias, la recta y el área que nos interesa en amarillo.

Vemos que la recta $y=x$ tiene una pendiente de 45°, lo que significa que divide a cada circunferencia en un sector circular que tiene $\frac{45^o}{360^o} = \frac{1}{8}$ del área total. Como necesitamos el área entre dos circunferencias, calculamos la diferencia.

$A_{amarillo}= \frac{1}{8}\times (\pi (2)^2 - \pi (1)^2)=\frac{3\pi}{8}$