Problema de la semana 2022-15

Olimpiada Panameña de Matemática

Problema de la semana

Semana del lunes 11 al domingo 17 de abril de 2022

Sean $a_0, a_1, a_2, a_3$ y $a_4$ números enteros que están todos en el conjunto {-1, 0, 1}. ¿Cuántos enteros positivos pueden ser escritos como $S=a_0+a_1\cdot 3+a_2\cdot 3^2+a_3\cdot 3^3+a_4\cdot 3^4$ ?

Solución

Observamos que $1+3+3^2+\dots +3^{n-1}=\frac{3^n-1}{3-1} < 3^n$ para todo $n\geq 1$ . Entonces, si $a_k=1$ ( $k$ entero entre 0 y 4$, los $a_i$ (con $i$ entero menor que $k$ ) pueden ser cualquier valor en ${-1, 0, 1}. De aquí tenemos que el coeficiente de la mayor potencia de 3 no puede ser -1 o$ latex S$ sería negativo.

Si $a_4=1$ , hay 3 posibles valores para cada uno de $a_0, a_1, a_2$ y $a_3$ , osea $3^4=81$ posibles valores.