Problema de la semana Archives - Olimpiada Panameña de Matemática https://opm.org.pa/category/problema-de-la-semana/ Promoviendo la matemática en Panamá Fri, 10 Feb 2023 22:36:41 +0000 es hourly 1 https://wordpress.org/?v=6.9.4 https://opm.org.pa/wp-content/uploads/2019/06/cropped-LOGO-OLIMPIADA-small-32x32.jpg Problema de la semana Archives - Olimpiada Panameña de Matemática https://opm.org.pa/category/problema-de-la-semana/ 32 32 Problema de la semana 2023-04 https://opm.org.pa/problema-de-la-semana-2023-04/ https://opm.org.pa/problema-de-la-semana-2023-04/#comments Sun, 22 Jan 2023 19:13:53 +0000 https://opm.org.pa/?p=2170 The post Problema de la semana 2023-04 appeared first on Olimpiada Panameña de Matemática.

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Semana del lunes 23 al domingo 29 de enero de 2023

Moisés hizo un examen para ingresar a la universidad, cuyo puntaje mínimo de aprobación es 80%. Luego de haber trabajdo en 15 de las preguntas, está seguro de haber respondido correctamente 10 de ellas y dejó 5 sin contestar. Él respondió correctamente el resto de las preguntas de las examen (aparte de las primeras 15) y obtuvo excatamente 80% como nota en su examen. ¿Cuantas preguntas tenía en total el examen?

Solución

Supongamos que, después de las primeras 15, Moisés respondió correctamente x preguntas. El puntaje final que obtuvo es \frac{10+x}{15+x}=0.8. Resolviendo para x, se obtiene que x=10. El total de preguntas en el examen eran x+15=25.

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]]> https://opm.org.pa/problema-de-la-semana-2023-04/feed/ 2 Problema de la semana 2023-03 https://opm.org.pa/problema-de-la-semana-2023-03/ Sun, 15 Jan 2023 18:09:56 +0000 https://opm.org.pa/?p=2148 The post Problema de la semana 2023-03 appeared first on Olimpiada Panameña de Matemática.

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Semana del lunes 16 al domingo 22 de enero de 2023

Considere el objeto en la figura X.

De los objetos en las siguientes figuras, ¿cuál puede ser obtenido rotando el objeto en la figura X?

Solución

Al rotar el objeto en la figura X, se pueden obtener los objetos en la figura A y C.

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]]> Problema de la semana 2023-02 https://opm.org.pa/problema-de-la-semana-2023-02/ Sun, 08 Jan 2023 15:52:51 +0000 https://opm.org.pa/?p=2140 The post Problema de la semana 2023-02 appeared first on Olimpiada Panameña de Matemática.

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Semana del lunes 9 al domingo 15 de enero de 2023

De los puntos marcados, Lorena elige 8 al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que 4 de los puntos elegidos sean vértices de un rectángulo?

Solución

Supongamos que se elijen los 3 puntos de una de las 4 columnas. Quedarían 5 puntos para colocar en 3 columnas así que, por el principio de las casillas, al menos una de esas columnas tendría al menos 2 puntos. Con esos dos puntos y otros dos de la primera columna, siempre se formaría un rectángulo. Si en ninguna de las columnas se elijen los tres puntos, entonces en todas las columnas se elijen 2 puntos. Como solamente hay 3 filas y 4 conjuntos de dos puntos, de seguro habrán al menos dos filas en las que hay dos puntos en distintas columnas. Esto último garantiza que también habrá siempre un rectángulo. Por ende, la probabilidad de que 4 de los puntos formen un rectángulo es de 100%.

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]]> Problema de la semana 2023-01 https://opm.org.pa/problema-de-la-semana-2023-01/ Wed, 04 Jan 2023 22:51:25 +0000 https://opm.org.pa/?p=2137 The post Problema de la semana 2023-01 appeared first on Olimpiada Panameña de Matemática.

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Semana del lunes 2 al domingo 8 de enero de 2023

¿Cuántos cuadrados adicionales deben ser pintados para que la figura tenga un eje de simetría?

Solución

Si se toma un eje de simetría de 45 grados, es posible que la figura sea simétrica con pintar tan solo 3 cuadrados.

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]]> Problema de la semana 2022-42 https://opm.org.pa/problema-de-la-semana-2022-42/ Wed, 14 Dec 2022 23:54:05 +0000 https://opm.org.pa/?p=2127 The post Problema de la semana 2022-42 appeared first on Olimpiada Panameña de Matemática.

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Semana del lunes 10 al domingo 16 de Octubre de 2022

Una bola de billar rebota en los bordes de una mesa formando un ángulo de 45 grados. Si la bola continúa rebotando hasta caer en el hoyo de una esquina, ¿en cuál esquina cae?

Solución

Si se sigue el camino de la bola de billar, se observa que cae la esquina C.

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]]> Problema de la semana 2022-41 https://opm.org.pa/problema-de-la-semana-2022-41/ Wed, 14 Dec 2022 00:45:28 +0000 https://opm.org.pa/?p=2089 The post Problema de la semana 2022-41 appeared first on Olimpiada Panameña de Matemática.

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Semana del lunes 3 al domingo 9 de octubre de 2022

En la figura mostrada, O es el centro de la circunferencia y ABC es un triángulo inscrito. Si el área sombreada vale 3, ¿Cuánto vale el área del triángulo ABC?

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]]> Problema de la semana 2022-40 https://opm.org.pa/problema-de-la-semana-2022-40/ Sun, 02 Oct 2022 15:34:13 +0000 https://opm.org.pa/?p=2062 The post Problema de la semana 2022-40 appeared first on Olimpiada Panameña de Matemática.

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Semana del lunes 26 de septiembre al domingo 2 de octubre de 2022

Sea p(x)=x^2-bx+80. ¿Para cuántos valores de b, el polinomio tiene dos raíces enteras pares distintas?

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]]> Problema de la semana 2022-39 https://opm.org.pa/problema-de-la-semana-2022-39/ Sat, 01 Oct 2022 20:09:21 +0000 https://opm.org.pa/?p=2056 The post Problema de la semana 2022-39 appeared first on Olimpiada Panameña de Matemática.

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Semana del lunes 19 al domingo 25 de septiembre de 2022

En la figura mostrada, la razón entre el radio del sector circular y el radio de la circunferencia inscrita es 3:1. ¿Cuál es la razón entre sus áreas?

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]]> Problema de la semana 2022-38 https://opm.org.pa/problema-de-la-semana-2022-38/ Sat, 17 Sep 2022 16:38:00 +0000 https://opm.org.pa/?p=2034 The post Problema de la semana 2022-38 appeared first on Olimpiada Panameña de Matemática.

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Semana del lunes 12 al domingo 18 de septiembre de 2022

Si divido el número 1001 entre un número de un dígito, el residuo es 5. ¿Cuál es el residuo de dividir 2022 entre el mismo dígito?

Solución

Digamos que el número de un dígito es n. Como el residuo es 5, n debe ser mayor que 5. Probamos haciendo la división de 1001 entre los posibles candidatos, que son 6, 7, 8 y 9, y obtenemos lo siguiente.

1001\equiv 5 (mod 6)

1001\equiv 0 (mod 7)

1001\equiv 1 (mod 8)

1001\equiv 2 (mod 9)

De estos cálculos, vemos que la única posibilidad es n=6. 2022 es múltiplo de 6 así que su residuo módulo 6 es 0.

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]]> Problema de la semana 2022-37 https://opm.org.pa/problema-de-la-semana-2022-37/ Sat, 10 Sep 2022 18:56:43 +0000 https://opm.org.pa/?p=2028 The post Problema de la semana 2022-37 appeared first on Olimpiada Panameña de Matemática.

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Semana del lunes 5 al domingo 11 de septiembre de 2022

Dos triángulos equilateros, ambos con perímetros de 18 cm, se traslapan de manera que sus lados quedan paralelos, como se muestra en la imagen. Calcule el perímetro del hexágono que se forma en el interior de la imagen.

Solución

Notemos que cada pico de la estrella es un triángulo equilátero. Entonces, tres lados consecutivos del hexágono miden lo mismo que un lado de los triángulos equiláteros originales, por lo que el perímetro del hexágono es 2/3 el perímetro de uno de los triángulos, es decir, 12 cm.

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