Problema de la semana 2021-10

Semana del 8 al 14 de marzo de 2021

Encuentre todas las soluciones reales de la siguiente ecuación.

$\frac{x^3+1}{x^2-1}=x+\sqrt{\frac{6}{x}}$

Solución

Para encontrar las raíces de la función vamos a ordenar la expresión dejando la raíz sola en el lado derecho, luego elevaremos al cuadrado y resolveremos la ecuación resultante.

$\frac{x^3+1}{x^2-1}-x=\sqrt{\frac{6}{x}}$

$\frac{x^3+1-x^3+x}{x^2-1}=\sqrt{\frac{6}{x}}$

$\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}=\sqrt{\frac{6}{x}}$

$\frac{1}{(x-1)}=\sqrt{\frac{6}{x}}$

$\frac{1}{(x^2-2x+1)}=\frac{6}{x}$

$\frac{x}{6}=x^2-2x+1$

$0=x^2-\frac{13}{6}x+1$

Aplicando la fórmula cuadrática obtenemos que

$x=\frac{\frac{13}{6} \pm \sqrt{(\frac{13}{6})^2-4}}{2}$

Obsevamos que si usamos el signo negativo en la fórmula cuadrática, el valor que se obtiene es negativo, pero en la ecuación original x no puede ser negativo ya que se obtendría un valor imaginario en el lado derecho de la ecuación. Por consiguiente, la única solución es

$x=\frac{\frac{13}{6} + \sqrt{(\frac{13}{6})^2-4}}{2}$

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