Problema de la semana 2021-19

Semana del 10 al 16 de mayo de 2021

Tres vértices distintos de un cubo son elegidos de manera aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que el plano determinado por estos tres vértices contenga puntos del interior del cubo?

Solución

Al elegir tres vértices de manera aleatoria del cubo, hay dos posibilidades: que los tres vértices estén sobre una misma cara, en cuyo caso el plano no tiene ningún punto en el interior del cubo, o que los tres vértices no estén sobre una misma cara y el plano contiene puntos en el interior del cubo. Buscaremos la probabilidad $P$ de que los tres puntos estén sobre una misma cara del cubo y luego la respuesta buscada será $(1-P)$ .

Un cubo tiene seis caras, así que la cantidad de maneras en que se pueden elegir tres puntos de los cuatro de una cara son $6 \binom{4}{3}=24$ . La cantidad de maneras en que se pueden elegir tres de los ocho puntos del cubo es $\binom{8}{3}=56$ , así que $P=\frac{24}{56}=\frac{3}{7}$ . La probabilidad buscada es $1-P=1-\frac{3}{7}=\frac{4}{7}$ .

Problema de la semana 2021-19

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