Problema de la semana 2021-21

Semana del 24 al 30 de mayo de 2021

Sean

$a=\frac{1^2}{1}+\frac{2^2}{3}+\frac{3^2}{5}\dots+\frac{1010^2}{2019}$

$b=\frac{1^2}{3}+\frac{2^2}{5}+\frac{3^2}{7}\dots+\frac{1010^2}{2021}$

¿Cuánto es $a-b$ redondeado al entero más cercano?

Solución

$a-b=1+(\frac{2^2}{3}-\frac{1^2}{3})+(\frac{3^2}{5}-\frac{2^2}{3})+(\frac{4^2}{7}-\frac{3^2}{7})+\dots+(\frac{1010^2}{2019}-\frac{1009^2}{2019})-\frac{1010^2}{2021}$ $a-b=1+1+1+1+\dots+1-\frac{1010^2}{2021}$

Notamos que el 1 aparece 1010 veces. Para la última parte, haremos un poco de aritmética y calculamos $\frac{1010^2}{2021}=\frac{1020100}{2021}=504+\frac{1516}{2021}$ , así que el resultado es:

$a-b=1010-504-\frac{1516}{2021}=506-\frac{1516}{2021}$ y como la fracción es mayor que 0.5 pero menor que 1, este último número es mayor que 505 pero menor que 505.5, así que al redondear $a-b$ al entero más cercano se obtiene 505.

Problema de la semana 2021-21

Solución

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