Problema de la semana 2021-22

Olimpiada Panameña de Matemática

Problema de la semana

Semana del 31 de mayo al 6 de junio de 2021

Sea I el incentro del triángulo ABC. Dibujamos por I una recta paralela al lado AB que corta a los lados AC y BC en X y en Y respectivamente. Supongamos que $BC=20$ , $BY=5$ y que $AC=32$ . ¿Cuánto mide el segmento XY?

Solución

Como las rectas XY y AB son paralelas, sabemos que $m\angle IAB =m\angle XAI=m\angle XIA$ . Además, $m\angle IBY=m\angle YIB$ . Esto implica que $XA=XI$ y que $YB=YI$ .

Por el teorema de Thales, tenemos que $\frac{CY}{YB}=\frac{CA}{XA}$ , de donde obtenemos que $XA=\frac{32\times 5}{20}=8$ . Por último, calculamos $XY=XI+IY=8+5=13$ .