Problema de la semana 2021-26

Semana del 28 de junio al 4 de julio de 2021

Sea ABC un triángulo con puntos D y M sobre los lados AC y BC, respectivamente. Si $AB=BD$ y $m\angle ABD=m\angle MAC=m\angle BCA$ , ¿cuánto vale el menor ángulo que forman los segmentos AM y BD?

Solución

Sea $\alpha=m\angle ABD=m\angle MAC=m\angle BCA$ .

$\angle BDA$ es un ángulo exterior en el triángulo BDC, así que

$m\angle BDA=m\angle DBC+ m\angle BCD=48^o+\alpha$

Además, $AB=BD$ , por lo que $m\angle BAD=m\angle BDA=48^o+\alpha$ Por consiguiente, en el triángulo $ABD$ tenemos que

$m\angle BAD+\angle BDA+m\angle ABD=180^o$
$(48^o+\alpha)+(48^o+\alpha)+\alpha=180^o$
$\alpha=28^o$

Digamos que X es el punto de intersección de los segmentos AM y BD. Entonces,

$m\angle AXD=180^o-m\angle XAD-m\angle XDA$
$m\angle AXD=180^o-28^o-(48^o+28^o)=76^o$

El menor ángulo formado por los segmentos AM y BD es 76°.

Problema de la semana 2021-26

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