Problema de la semana 2021-27

Semana del 6 al 11 de julio de 2021

Consideremos los números enteros positivos que son iguales al producto de sus divisores positivos (distintos de ellos mismos). Si escribimos estos números en una lista de menor a mayor, ¿cuál ocupa la posición número seis?

Solución

Si un número está formado por exactamente dos factores primos, digamos p y q, entonces sus divisores son 1, p, q y pq, y este número estaría en la lista que se describe en el problema.

Consideremos la descomposición en potencias de factores primos de un número (teorema fundamental de la aritmética) que no está formado solamente por dos números primos.

$n=p_1^{e_1}\cdot p_2^{e_2} \cdot p_3^{e_3}\cdots p_n^{e_n}$

Vemos que entre los divisores de $n$ están todos los $p_1^{e_1}$ , $p_2^{e_2}$ , $p_3^{e_3} \cdots p_n^{e_n}$ y también están todas las combinaciones posibles de productos con todas las potencias de los factores primos. Por consiguiente, al multiplicar los divisores, se obtendrá un número mayor que $n$ . De aquí concluimos que los números en la lista son solamente aquellos formados por exactamente dos primos.

Consideramos los primeros 4 números primos más pequeños y formamos la lista.

Posición	p	q	n
1	2	3	6
2	2	5	10
3	2	7	14
4	3	5	15
5	3	7	21
6	5	7	35

La respuesta es 35.

Problema de la semana 2021-27

Solución

Recibe las noticias

Redes sociales

Portales internos