Problema de la semana 2021-39

Semana del 27 de septiembre al 3 de octubre de 2021

¿Cuántos enteros positivos tienen la propiedad de que al eliminarles la última cifra, el nuevo número que se obtiene es 1/14 del original?

Solución

Podemos escribir la división como $\frac{999}{n} = q + \frac{r}{n}$ , en donde q es el cociente y r es el residuo.

$\frac{999}{n} = q + \frac{3}{n}$

Sumamos $\frac{1022}{n}$ a ambos lados

$\frac{2021}{n} = q+\frac{999+23}{n}+\frac{3}{n}$
$\frac{2021}{n} = q + \frac{999}{n} + \frac{23}{n} + \frac{3}{n}$
$\frac{2021}{n} = q + (q + \frac{3}{n}) + \frac{26}{n}$
$\frac{2021}{n} = 2q + \frac{29}{n}$

Y como n es mayor que 99, sabemos que la última fracción es propia, así que el residuo de la división de 2021 entre n es 29.

Problema de la semana 2021-39

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