Problema de la semana 2021-7

Olimpiada Panameña de Matemática

Problema de la semana

Semana del 14 al 20 de febrero de 2021

Sean $a$ y $b$ dos números enteros tales que

$2^a+3^b=3^{b+2}-2^{a+1}$

Encuentre el valor de $a+b$ .

Solución

Aplicamos las leyes de los exponentes y reordenamos

$2^a+3^b=3^{b+2}-2^{b+1}$
$2^a+2^a \cdot 2=3^b \cdot 3^2-3^b$
$3\cdot 2^a=8\cdot 3^b$
$3\cdot 2^a=2^3 \cdot 3^b$

Como las variables son números enteros, esta última expresión implica necesariamente que $a=3$ y que $b=1$ , así que $latex a+b=4.