Problema de la semana 2021-6

Olimpiada Panameña de Matemática

Problema de la semana

Semana del 7 al 13 de febrero de 2021

Sea $f(n)$ una función tal que $f(n+1)=\frac{2f(n)+1}{2}$ , para $n=1, 2, 3, \dots$ . Si $f(1)=2$ , ¿cuánto vale $f(101)$ ?

Solución

La función puede ser escrita también de la siguiente manera:

$f(n+1)=f(n)+1/2$

Lo que significa que por cada unidad que aumenta $n$ , $f(n)$ aumenta en 1/2. Esto se puede escribir también como $f(n) = f(1) + (n-1)\frac{1}{2}$ .

Por consiguiente, $f(101)=2+100\times \frac{1}{2}=52$