Semana del 24 al 30 de mayo de 2021 Sean $latex a=\frac{1^2}{1}+\frac{2^2}{3}+\frac{3^2}{5}\dots+\frac{1010^2}{2019}$ y $latex b=\frac{1^2}{3}+\frac{2^2}{5}+\frac{3^2}{7}\dots+\frac{1010^2}{2021}$ ¿Cuánto es $latex a-b$ redondeado al entero más cercano? Solución $latex a-b=1+(\frac{2^2}{3}-\frac{1^2}{3})+(\frac{3^2}{5}-\frac{2^2}{3})+(\frac{4^2}{7}-\frac{3^2}{7})+\dots+(\frac{1010^2}{2019}-\frac{1009^2}{2019})-\frac{1010^2}{2021}$ $latex a-b=1+1+1+1+\dots+1-\frac{1010^2}{2021}$   Notamos que el 1 aparece 1010 veces. Para la última…

Semana del 17 al 23 de mayo de 2021 Consideremos la representación decimal finita del número $latex \frac{1}{5^{2021}}$. ¿Cuál es su último dígito? ¿Cuál es su penúltimo dígito? Solución Observemos primero que $latex \frac{1}{5^{2021}}=\frac{2^{2021}}{10^{2021}}$, así que lo que buscamos son…

Semana del 10 al 16 de mayo de 2021 Tres vértices distintos de un cubo son elegidos de manera aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que el plano determinado por estos tres vértices contenga puntos del interior del cubo? Solución…

Semana del 3 al 9 de mayo de 2021 Sea $latex ABCD$ un cuadrado cuyo centro está en el punto $latex O$. Se construyen los triángulos equiláteros $latex DAF$ y $latex DCE$ sobre los lados $latex DC$ y $latex AD$.…

Semana del 26 de abril al 2 de mayo de 2021 Consideremos el siguiente polinomio: $latex p(x)=x^4+ax^3-7x^2+bx-49$ Si dividimos $latex p(x)$ entre $latex x-3$, el residuo es 53. Si dividimos $latex p(x)$ entre $latex x+2$, el residuo es -87. ¿Cuánto…

Semana del 19 al 25 de abril de 2021 Calcule el valor de la siguiente suma infinita: $latex S=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+\frac{5}{2^5}+\cdots$ Solución Recordemos primero la fórmula para la suma de una progresión geométrica: $latex S_g=1+r+r^2+r^3+\dots+r^n=\frac{1-r^n}{1-r}$ Si $latex r<1$ y $latex n\rightarrow \infty$,…

Semana del 12 al 18 de abril de 2021 En las últimas votaciones en el país, se dieron los siguientes resultados sobre los partidos A, B, C y D: El partido A obtuvo más votos que el partido B Entre los partidos C y D juntos, se obtuvieron…

Semana del 5 al 11 de abril de 2021 Considerando la figura que se muestra a continuación, calcule el valor de x. Solución Digamos que el ángulo que está entre d y 3c se llama e, y son suplementarios así que [1] $latex d+e+3c=180$. Digamos que…