Semana del 21 al 27 de junio de 2021 Consideremos el polinomio $latex p(x)=x^2-6x+n^2$ Se sabe que sus raíces son números reales y digamos que son $latex a$ y $latex b$. Calcule el valor de la siguiente expresión: $latex S=\log_n…
Semana del 14 al 20 de junio de 2021 Si el dígito de las decenas de un cuadrado perfecto es 7 ¿qué valores distintos podría tener el dígito de las unidades? Solución Cuando elevamos un número al cuadrado, los últimos…
Semana del 7 al 13 de junio de 2021 Consideremos la siguiente sucesión de números reales. $latex a_1=2021, a_2=\frac{2}{a_1}, a_3=\frac{3}{a_2}, a_4=\frac{4}{a_3},\dots$ Encuentre cuánto vale el producto $latex a_1\times a_2\times a_3\times \cdots \times a_{10}$.
Semana del 31 de mayo al 6 de junio de 2021 Sea I el incentro del triángulo ABC. Dibujamos por I una recta paralela al lado AB que corta a los lados AC y BC en X y en Y respectivamente. Supongamos que $latex…
Semana del 24 al 30 de mayo de 2021 Sean $latex a=\frac{1^2}{1}+\frac{2^2}{3}+\frac{3^2}{5}\dots+\frac{1010^2}{2019}$ y $latex b=\frac{1^2}{3}+\frac{2^2}{5}+\frac{3^2}{7}\dots+\frac{1010^2}{2021}$ ¿Cuánto es $latex a-b$ redondeado al entero más cercano? Solución $latex a-b=1+(\frac{2^2}{3}-\frac{1^2}{3})+(\frac{3^2}{5}-\frac{2^2}{3})+(\frac{4^2}{7}-\frac{3^2}{7})+\dots+(\frac{1010^2}{2019}-\frac{1009^2}{2019})-\frac{1010^2}{2021}$ $latex a-b=1+1+1+1+\dots+1-\frac{1010^2}{2021}$ Notamos que el 1 aparece 1010 veces. Para la última…
Semana del 17 al 23 de mayo de 2021 Consideremos la representación decimal finita del número $latex \frac{1}{5^{2021}}$. ¿Cuál es su último dígito? ¿Cuál es su penúltimo dígito? Solución Observemos primero que $latex \frac{1}{5^{2021}}=\frac{2^{2021}}{10^{2021}}$, así que lo que buscamos son…
Semana del 10 al 16 de mayo de 2021 Tres vértices distintos de un cubo son elegidos de manera aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que el plano determinado por estos tres vértices contenga puntos del interior del cubo? Solución…
Semana del 3 al 9 de mayo de 2021 Sea $latex ABCD$ un cuadrado cuyo centro está en el punto $latex O$. Se construyen los triángulos equiláteros $latex DAF$ y $latex DCE$ sobre los lados $latex DC$ y $latex AD$.…
Semana del 26 de abril al 2 de mayo de 2021 Consideremos el siguiente polinomio: $latex p(x)=x^4+ax^3-7x^2+bx-49$ Si dividimos $latex p(x)$ entre $latex x-3$, el residuo es 53. Si dividimos $latex p(x)$ entre $latex x+2$, el residuo es -87. ¿Cuánto…
Semana del 19 al 25 de abril de 2021 Calcule el valor de la siguiente suma infinita: $latex S=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+\frac{5}{2^5}+\cdots$ Solución Recordemos primero la fórmula para la suma de una progresión geométrica: $latex S_g=1+r+r^2+r^3+\dots+r^n=\frac{1-r^n}{1-r}$ Si $latex r<1$ y $latex n\rightarrow \infty$,…