Problema de la semana 2021-25

Semana del 21 al 27 de junio de 2021

Consideremos el polinomio $p(x)=x^2-6x+n^2$

Se sabe que sus raíces son números reales y digamos que son $a$ y $b$ . Calcule el valor de la siguiente expresión:

$S=\log_n a^a + \log_n a^b + \log_n b^a + \log_n b^b$

Recordando las relaciones de Viete, sabemos que $a+b=6$ y que $ab=n^2$ .

Aplicando las propiedades de los logaritmos y leyes de los exponentes, obtenemos lo siguiente:

$S=\log_n(a^aa^bb^ab^b)=\log_n(a^{a+b}b^{a+b})$

$S=\log_n (a^6 b^6)=\log_n (ab)^6=6\log_n (ab)=6\log_n (n^2)=2\times 6\log_n n=12$