Problema de la semana 2021-5
Semana del 31 de enero al 6 de febrero de 2021
ABC es un triángulo equilátero. D es el punto medio del lado . Los puntos E y F dividen a los lados
y
en una razón de 1:2. Los segmentos
,
y
concurren en el punto P. ¿Cuánto vale
?
Nota: usamos la notación para referirnos al área del polígono formado por los vértices
.
Observamos primeramente que ,
y que
.
Digamos que y
.
Trazamos el segmento perpendicular que va de P al lado AC. Vemos que este segmento es una altura para el triángulo APE y también para el triángulo EPC. Como estos dos triángulos tienen la misma altura, la razón de sus áreas es igual a la razón de sus bases, es decir,
Dicho de otra forma,
Siguiendo el mismo razonamiento, observamos que
Vemos que está formado por seis triángulos internos cuyas áreas suman
Por último,