Problema de la semana 2022-34

Semana del lunes 15 al domingo 21 de agosto de 2022

Se tiene un cuadrado PQRS que rueda (sin deslizar) sobre una recta, como se muestra en la figura.

Los vértices Q están inicialmente sobre la recta y la rotación inicia sobre el vértice Q. La rotación del cuadrado se detiene tan pronto como P  se encuentra nuevamente en la recta. ¿Cuál es la longitud total de la curva que describe P  durante el movimiento del cuadrado?

En cada movimiento, el vértice P  describe una cuarta parte de una circunferencia. Un arco de una cuarta parte de una circunferencia tiene longitud \frac{\pi \times r}{2}, en donde r es el radio de la circunferencia. El radio del primer arco es 10, el del segundo es 10\sqrt{2} y el del tercero es 10. Por ende, la longitud total de la curva es \frac{\pi}{2}(10 + 10\sqrt{2} + 10)=10\pi + 5\pi \sqrt{2}

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